MATH 1314: College Algebra

O ecuație liniară este o ecuație a unei drepte, scrisă într-o singură variabilă. Singura putere a variabilei este 1. Ecuațiile liniare într-o singură variabilă pot lua forma ax+b=0 și se rezolvă folosind operații algebrice de bază.

Începem prin a clasifica ecuațiile liniare într-o singură variabilă ca fiind de unul din cele trei tipuri: identitare, condiționale sau inconsistente. O ecuație cu identitate este adevărată pentru toate valorile variabilei. Iată un exemplu de ecuație identitate.

3x=2x+x

Setul de soluții este format din toate valorile care fac ca ecuația să fie adevărată. Pentru această ecuație, setul de soluții este format din toate numerele reale, deoarece orice număr real substituit în locul lui x va face ca ecuația să fie adevărată.

O ecuație condiționată este adevărată doar pentru anumite valori ale variabilei. De exemplu, dacă trebuie să rezolvăm ecuația 5x+2=3x – 6, avem următoarele:

\begin{array}{l}5x+2\hfill&=3x – 6\hfill \\\ 2x\hfill&=-8\hfill \hill \ x\hfill&=-4\hfill \end{array}

Setul de soluții este format dintr-un singur număr: \{-4\}. Este singura soluție și, prin urmare, am rezolvat o ecuație condițională.

O ecuație inconsistentă are ca rezultat o afirmație falsă. De exemplu, dacă trebuie să rezolvăm 5x – 15=5\stânga(x – 4\dreapta), avem următoarele:

\begin{array}{ll}5x – 15=5x – 20\hfill & \hfill \hfill \\\ 5x – 15 – 5x=5x – 20 – 5x\hfill & \text{Substracție }5x\text{ din ambele părți}.\hfill \hfill -15\ne -20 \hfill & \text{afirmație falsă}\hfill \end{array}

De fapt, -15\ne -20. Nu există soluție deoarece aceasta este o ecuație inconsecventă.

Soluția ecuațiilor liniare într-o singură variabilă implică proprietățile fundamentale ale egalității și operațiile algebrice de bază. Urmează o scurtă trecere în revistă a acestor operații.

Cum să: Dată fiind o ecuație liniară într-o singură variabilă, folosiți algebra pentru a o rezolva.

Pasii următori sunt folosiți pentru a manipula o ecuație și a izola variabila necunoscută, astfel încât pe ultima linie să se citească x=_________, dacă x este necunoscuta. Nu există o ordine prestabilită, deoarece pașii utilizați depind de ceea ce este dat:

  1. Potem să adunăm, să scădem, să înmulțim sau să împărțim o ecuație cu un număr sau o expresie, atâta timp cât facem același lucru pentru ambele părți ale semnului egal. Rețineți că nu putem împărți la zero.
  2. Aplicați proprietatea distributivă după cum este necesar: a-spate(b+c-dreapta)=ab+ac.
  3. Izolează variabila pe o parte a ecuației.
  4. Când variabila este înmulțită cu un coeficient în etapa finală, înmulțițiți ambele părți ale ecuației cu reciproca coeficientului.

Exemplu 1: Rezolvarea unei ecuații de o singură variabilă

Rezolvați următoarea ecuație: 2x+7=19.

Soluție

Această ecuație poate fi scrisă sub forma ax+b=0 prin scăderea lui 19 din ambele părți. Cu toate acestea, putem proceda la rezolvarea ecuației în forma sa inițială prin efectuarea de operații algebrice.

\begin{array}{ll}2x+7=19\hfill & \hfill \hill 2x=12\hill & \text{Subtrage 7 din ambele părți}.\hfill \hill \hill x=6\hill & \text{Înmulțește ambele părți cu }\frac{1}{2}\text{ sau împarte la 2}.\hfill \end{array}

Soluția este x=6.

Încercați 1

Solvați ecuația liniară într-o singură variabilă: 2x+1=-9.

Soluție

Exemplu 2: Rezolvarea algebrică a unei ecuații atunci când variabila apare de ambele părți

Soluționați următoarea ecuație: 4\stânga(x – 3\dreapta)+12=15 – 5\stânga(x+6\dreapta).

Soluție

Aplicați proprietățile algebrice standard.

\begin{array}{ll}4\stânga(x – 3\dreapta)+12=15 – 5\stânga(x+6\dreapta)\hfill & \hfill \hfill \\\ 4x – 12+12=15 – 5x – 30 \hfill & \text{Aplicați proprietatea distributivă}.\hfill \hfill \hfill 4x=-15 – 5x\hfill & \text{Combinați termenii asemănători}.\hfill \hfill \hill 9x=-15 \hfill & \text{Puneți }x-\text{termeni pe o parte și simplificați}.\hfill \hfill x=-\frac{15}{9}\hfill & \text{Înmulțește ambele părți cu }\frac{1}{9}\text{, reciproca lui 9}.\hfill \hfill \hill x=-\frac{5}{3}\hfill & \hfill \end{array}

Analiza soluției

Această problemă necesită aplicarea de două ori a proprietății distributive, iar apoi se folosesc proprietățile algebrei pentru a ajunge la linia finală, x=-\frac{5}{3}.

Încercați 2

Soluționați ecuația într-o singură variabilă: -2\la stânga(3x – 1\drept)+x=14-x.

Soluție

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.