MATH 1314: Álgebra Universitária

Uma equação linear é uma equação de uma linha reta, escrita em uma variável. A única potência da variável é 1. Equações lineares em uma variável podem tomar a forma eixo+b=0 e são resolvidas usando operações algébricas básicas.

Comecemos classificando equações lineares em uma variável como um dos três tipos: identidade, condicional ou inconsistente. Uma equação de identidade é verdadeira para todos os valores da variável. Aqui está um exemplo de uma equação de identidade.

3x=2x+x

O conjunto de soluções consiste em todos os valores que tornam a equação verdadeira. Para esta equação, o conjunto de soluções é todos os números reais porque qualquer número real que substitua x tornará a equação verdadeira.

Uma equação condicional é verdadeira apenas para alguns valores da variável. Por exemplo, se quisermos resolver a equação 5x+2=3x – 6, temos o seguinte:

\begin{array}{l}5x+2\hfill&=3x – 6\hfill \\\ 2x\hfill&=-8\hfill \ x\hfill&=-4\hfill \end{array}

O conjunto de soluções consiste em um número: \{-4\}. É a única solução e, portanto, resolvemos uma equação condicional.

Uma equação inconsistente resulta em uma falsa afirmação. Por exemplo, se vamos resolver 5x – 15=5=esquerda(x – 4=direita), temos o seguinte:

\begin{array}{ll}5x – 15=5x – 20\hfill & \hfill \ 5x – 15 – 5x=5x – 20 – 5x\hfill & {Subtrair {Subtrair }5xtexto{ de ambos os lados}.\Preencher -15 -15ne -20 Preencher &texto (Declaração falsa) Preencher

Indeed, -15ne -20. Não há solução porque esta é uma equação inconsistente.

Solucionar equações lineares em uma variável envolve as propriedades fundamentais da igualdade e operações algébricas básicas. Segue-se uma breve revisão dessas operações.

Como fazer: Dada uma equação linear em uma variável, use álgebra para resolvê-la.

Os seguintes passos são usados para manipular uma equação e isolar a variável desconhecida, de modo que a última linha leia x=_________, se x for o desconhecido. Não há ordem definida, pois os passos utilizados dependem do que é dado:

  1. Podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir uma equação por um número ou uma expressão, desde que façamos a mesma coisa para ambos os lados do sinal de igual. Note que não podemos dividir por zero.
  2. Aplique a propriedade distributiva conforme necessário: a\ esquerda(b+c\ direita)=ab+ac.
  3. Isolar a variável de um lado da equação.
  4. Quando a variável é multiplicada por um coeficiente no estágio final, multiplique ambos os lados da equação pelo recíproco do coeficiente.

Exemplo 1: Resolvendo uma equação em uma variável

Solucionar a seguinte equação: 2x+7=19.

Solução

Esta equação pode ser escrita na forma ax+b=0 subtraindo 19 de ambos os lados. No entanto, podemos proceder para resolver a equação na sua forma original, realizando operações algébricas.

\begin{array}{ll}2x+7=19hfill & \hfill 2x=12\hfill & {Subtrair 7 de ambos os lados}.\hfill x=6\hfill & {Multiply both sides by }frac{1}{2}text{ or divide por 2}.\hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hfill \hend{array}

A solução é x=6.

Try It 1

Solver a equação linear em uma variável: 2x+1=-9.

Solução

Exemplo 2: Resolver algébricamente uma equação quando a variável aparece em ambos os lados

Solucionar a seguinte equação: 4\esquerda(x – 3\direita)+12=15 – 5\esquerda(x+6\direita).

Solução

Aplicar as propriedades algébricas padrão.

>

\\begin{array}{ll}4\esquerda(x – 3\direita)+12=15 – 5\esquerda(x+6\direita)\hfill & \hfill \ 4x – 12+12=15 – 5x – 30 \hfill &texto{Aplicar a propriedade distributiva}.\4x=-15 – 5x=hfill &texto{Combine like terms}.\hfill 9x=-15 \hfill &texto{Place }x-texto{terms on one side and simplify}.\x=-frrac (15) x=-frrac (15) x=-frrac (9) x=-frrac (9) x=-frrac (9) x=-frrac (9) x=-frrac (9) x=-frrac (10) x=-frrac (10) x=-frrac (10) x=-frrac (10) x=-frrac (11) x=-frrac (11) x=-frrac (11)\hfill x=-frac{5}{3}hfill & hfill

Análise da Solução

Este problema requer que a propriedade distributiva seja aplicada duas vezes, e então as propriedades da álgebra são usadas para alcançar a linha final, x=–frac{5}{3}.

Try It 2

Solver a equação em uma variável: -2\ esquerda(3x – 1\ direita)+x=14-x.

Solução

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