Uma equação linear é uma equação de uma linha reta, escrita em uma variável. A única potência da variável é 1. Equações lineares em uma variável podem tomar a forma eixo+b=0 e são resolvidas usando operações algébricas básicas.
Comecemos classificando equações lineares em uma variável como um dos três tipos: identidade, condicional ou inconsistente. Uma equação de identidade é verdadeira para todos os valores da variável. Aqui está um exemplo de uma equação de identidade.
O conjunto de soluções consiste em todos os valores que tornam a equação verdadeira. Para esta equação, o conjunto de soluções é todos os números reais porque qualquer número real que substitua x tornará a equação verdadeira.
Uma equação condicional é verdadeira apenas para alguns valores da variável. Por exemplo, se quisermos resolver a equação 5x+2=3x – 6, temos o seguinte:
O conjunto de soluções consiste em um número: \{-4\}. É a única solução e, portanto, resolvemos uma equação condicional.
Uma equação inconsistente resulta em uma falsa afirmação. Por exemplo, se vamos resolver 5x – 15=5=esquerda(x – 4=direita), temos o seguinte:
Indeed, -15ne -20. Não há solução porque esta é uma equação inconsistente.
Solucionar equações lineares em uma variável envolve as propriedades fundamentais da igualdade e operações algébricas básicas. Segue-se uma breve revisão dessas operações.
- A General Note: Linear Equation in One Variable
- Como fazer: Dada uma equação linear em uma variável, use álgebra para resolvê-la.
- Exemplo 1: Resolvendo uma equação em uma variável
- Solução
- Try It 1
- Exemplo 2: Resolver algébricamente uma equação quando a variável aparece em ambos os lados
- Solução
- Análise da Solução
- Try It 2
A General Note: Linear Equation in One Variable
Uma equação linear em uma variável pode ser escrita na forma
onde a e b são números reais, a\ne 0.
Como fazer: Dada uma equação linear em uma variável, use álgebra para resolvê-la.
Os seguintes passos são usados para manipular uma equação e isolar a variável desconhecida, de modo que a última linha leia x=_________, se x for o desconhecido. Não há ordem definida, pois os passos utilizados dependem do que é dado:
- Podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir uma equação por um número ou uma expressão, desde que façamos a mesma coisa para ambos os lados do sinal de igual. Note que não podemos dividir por zero.
- Aplique a propriedade distributiva conforme necessário: a\ esquerda(b+c\ direita)=ab+ac.
- Isolar a variável de um lado da equação.
- Quando a variável é multiplicada por um coeficiente no estágio final, multiplique ambos os lados da equação pelo recíproco do coeficiente.
Exemplo 1: Resolvendo uma equação em uma variável
Solucionar a seguinte equação: 2x+7=19.
Solução
Esta equação pode ser escrita na forma ax+b=0 subtraindo 19 de ambos os lados. No entanto, podemos proceder para resolver a equação na sua forma original, realizando operações algébricas.
A solução é x=6.
Try It 1
Solver a equação linear em uma variável: 2x+1=-9.
Solução
Exemplo 2: Resolver algébricamente uma equação quando a variável aparece em ambos os lados
Solucionar a seguinte equação: 4\esquerda(x – 3\direita)+12=15 – 5\esquerda(x+6\direita).
Solução
Aplicar as propriedades algébricas padrão.
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Análise da Solução
Este problema requer que a propriedade distributiva seja aplicada duas vezes, e então as propriedades da álgebra são usadas para alcançar a linha final, x=–frac{5}{3}.
Try It 2
Solver a equação em uma variável: -2\ esquerda(3x – 1\ direita)+x=14-x.
Solução