MATH 1314: College Algebra

Een lineaire vergelijking is een vergelijking van een rechte lijn, geschreven in één variabele. De enige macht van de variabele is 1. Lineaire vergelijkingen in één variabele kunnen de vorm ax+b=0 aannemen en worden opgelost met behulp van algebraïsche basisbewerkingen.

We beginnen met lineaire vergelijkingen in één variabele in te delen in een van de volgende drie typen: identieke, voorwaardelijke of inconsistente vergelijkingen. Een identieke vergelijking is waar voor alle waarden van de variabele. Hier is een voorbeeld van een identieke vergelijking.

3x=2x+x

De oplossingenverzameling bestaat uit alle waarden die de vergelijking waar maken. Voor deze vergelijking bestaat de oplossingenverzameling uit alle reële getallen, omdat elk reëel getal dat x vervangt de vergelijking waar maakt.

Een voorwaardelijke vergelijking is waar voor slechts enkele waarden van de variabele. Als we bijvoorbeeld de vergelijking 5x+2=3x – 6 moeten oplossen, dan hebben we het volgende:

begin{array}{l}5x+2vulling&=3x – 6vulling \ 2xvulling&=-8vulling \ xvulling&=-4vulling \einde{array}

De oplossingenverzameling bestaat uit één getal: \{-4\}. Het is de enige oplossing en daarom hebben we een voorwaardelijke vergelijking opgelost.

Een inconsistente vergelijking leidt tot een foute bewering. Als we bijvoorbeeld 5x – 15=5x – 15 links(x – 4 rechts) moeten oplossen, hebben we het volgende:

begin{array}{ll}5x – 15=5x – 20}fill & \ 5x – 15 – 5x=5x – 20 – 5x}fill & \Trek van beide kanten }5x af}.\ -15 -20 \hfill & \text{False statement}

Natuurlijk is -15 -20. Er is geen oplossing omdat dit een inconsistente vergelijking is.

Het oplossen van lineaire vergelijkingen in één variabele impliceert de fundamentele eigenschappen van gelijkheid en algebraïsche basisbewerkingen. Hieronder volgt een kort overzicht van die bewerkingen.

Hoe: Gegeven een lineaire vergelijking in één variabele, gebruik algebra om het op te lossen.

De volgende stappen worden gebruikt om een vergelijking te manipuleren en de onbekende variabele te isoleren, zodat de laatste regel luidt x=_________, als x de onbekende is. Er is geen vaste volgorde, want de gebruikte stappen hangen af van wat gegeven is:

  1. We kunnen een vergelijking optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen door een getal of een uitdrukking, zolang we aan beide zijden van het gelijkheidsteken maar hetzelfde doen. Merk op dat we niet door nul kunnen delen.
  2. Toepassen de distributieve eigenschap indien nodig: a-links(b+rechts)=ab+ac.
  3. De variabele aan één kant van de vergelijking isoleren.
  4. Wanneer de variabele in de laatste fase met een coëfficiënt wordt vermenigvuldigd, vermenigvuldigt u beide kanten van de vergelijking met de reciproke van de coëfficiënt.

Voorbeeld 1: Oplossen van een vergelijking in één variabele

Oplos de volgende vergelijking: 2x+7=19.

Oplossing

Deze vergelijking kan geschreven worden in de vorm ax+b=0 door 19 van beide kanten af te trekken. We kunnen de vergelijking echter in haar oorspronkelijke vorm oplossen door algebraïsche bewerkingen uit te voeren.

begin{array}{ll}2x+7=19}vulling & \hfill \ 2x=12}vulling & \text{Trek 7 van beide kanten af}.\hfill \ x=6}vulling & \text{Vermenigvuldig beide kanten met }\frac{1}{2}}text{ of deel door 2}.

De oplossing is x=6.

Probeer het 1

Oplos de lineaire vergelijking in één variabele: 2x+1=-9.

Oplossing

Voorbeeld 2: Een vergelijking algebraïsch oplossen wanneer de variabele aan beide kanten voorkomt

Volg de volgende vergelijking op: 4=15 – 5=links(x+6rechts).

Oplossing

Toepassen standaard algebraïsche eigenschappen.

begin{array}{ll}4-links(x -3-rechts)+12=15 – 5-links(x+6-rechts)\hfill & \hfill 4x – 12+12=15 – 5x – 30 \hfill & \text{Toepassen van de distributieve eigenschap}.\9x=-15 \hfill & \text{Gelijksoortige termen samenvoegen}.\hfill 9x=-15 \hfill & \text{Plaatsx-termen op een zijde en vereenvoudig}.\x=-\frac{15}{9}\hfill & \Vermenigvuldig beide zijden met }\frac{1}{9}}, het reciproke van 9}.\x=-\frac{5}{3} & \hfill \eind{array}

Analyse van de oplossing

Voor dit probleem moet de distributieve eigenschap twee keer worden toegepast, en dan worden de eigenschappen van algebra gebruikt om tot de laatste regel te komen, x=-\frac{5}{3}.

Probeer het 2

Oplos de vergelijking in één variabele: -2left(3x – 1})+x=14-x.

Oplossing

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.