MATH 1314: Álgebra universitaria

Una ecuación lineal es una ecuación de una recta, escrita en una variable. La única potencia de la variable es 1. Las ecuaciones lineales en una variable pueden tomar la forma ax+b=0 y se resuelven usando operaciones algebraicas básicas.

Comenzamos por clasificar las ecuaciones lineales en una variable como uno de los tres tipos: de identidad, condicionales o inconsistentes. Una ecuación de identidad es verdadera para todos los valores de la variable. Aquí hay un ejemplo de una ecuación de identidad.

3x=2x+x

El conjunto de soluciones consiste en todos los valores que hacen que la ecuación sea verdadera. Para esta ecuación, el conjunto solución son todos los números reales porque cualquier número real sustituido por x hará que la ecuación sea verdadera.

Una ecuación condicional es verdadera sólo para algunos valores de la variable. Por ejemplo, si vamos a resolver la ecuación 5x+2=3x – 6, tenemos lo siguiente:

{comenzar{array}{l}5x+2\hfill&=3x – 6\hfill \hill 2x\hfill&=-8\hfill \hill x\hfill&=-4\hill \end{array}

El conjunto solución está formado por un número: \{-4\}. Es la única solución y, por tanto, hemos resuelto una ecuación condicional.

Una ecuación incoherente da lugar a un enunciado falso. \hfill \hill \hill & \text{afirmación falsa}\hill \end{array}

En efecto, -15\ne -20. No hay solución porque se trata de una ecuación inconsistente.

Resolver ecuaciones lineales en una variable implica las propiedades fundamentales de la igualdad y las operaciones algebraicas básicas. A continuación se hace un breve repaso de dichas operaciones.

Cómo: Dada una ecuación lineal en una variable, utilizar el álgebra para resolverla.

Los siguientes pasos se utilizan para manipular una ecuación y aislar la variable desconocida, de modo que la última línea se lee x=_________, si x es la incógnita. No hay un orden establecido, ya que los pasos utilizados dependen de lo que se dé:

  1. Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir una ecuación por un número o una expresión siempre que hagamos lo mismo a ambos lados del signo igual. Ten en cuenta que no podemos dividir por cero.
  2. Aplicamos la propiedad distributiva según sea necesario: a\a la izquierda(b+c\a la derecha)=ab+ac.
  3. Aislamos la variable en un lado de la ecuación.
  4. Cuando la variable se multiplica por un coeficiente en la etapa final, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente.

Ejemplo 1: Resolución de una ecuación en una variable

Resolver la siguiente ecuación: 2x+7=19.

Solución

Esta ecuación se puede escribir en la forma ax+b=0 restando 19 a ambos lados. Sin embargo, podemos proceder a resolver la ecuación en su forma original realizando operaciones algebraicas.

{comenzar{array}{ll}2x+7=19\hfill &{cumplir}{cumplir}{cumplir}{más} 2x=12\hfill &{texto}{restar 7 a ambos lados}{cumplir}{más}{multiplicar ambos lados por}{frac{1}{2}{texto}{dividir por 2}{más}.\hfill \end{array}

La solución es x=6.

Inténtalo 1

Resuelve la ecuación lineal en una variable: 2x+1=-9.

Solución

Ejemplo 2: Resolver una ecuación algebraicamente cuando la variable aparece en ambos lados

Resuelve la siguiente ecuación: 4\a la izquierda(x – 3\a la derecha)+12=15 – 5\a la izquierda(x+6\a la derecha).

Solución

Aplica las propiedades algebraicas estándar.

{comenzar{array}{ll}4\a la izquierda(x – 3\a la derecha)+12=15 – 5\a la izquierda(x+6\a la derecha)\a la izquierda & \a la izquierda 4x – 12+12=15 – 5x – 30 \a la derecha.}\4x = 15 – 5x – 30. Rellenar 4x = 15 – 5x – 30. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15. Rellenar 9x = 15.\x=-\frac{15}{9}hfill & \text{p>Multiplicar ambos lados por }\frac{1}{9}{}, el recíproco de 9}.\hfill \hess x=-\frac{5}{3}hfill & \hfill \end{array}

Análisis de la solución

Este problema requiere aplicar la propiedad distributiva dos veces, y luego se utilizan las propiedades del álgebra para llegar a la recta final, x=-\frac{5}{3}.

Inténtalo 2

Resuelve la ecuación en una sola variable: -2\a(3x – 1\a)+x=14-x.

Solución

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