MATH 1314 : Algèbre collégiale

Une équation linéaire est une équation d’une ligne droite, écrite en une variable. La seule puissance de la variable est 1. Les équations linéaires en une variable peuvent prendre la forme ax+b=0 et sont résolues à l’aide d’opérations algébriques de base.

Nous commençons par classer les équations linéaires en une variable selon l’un des trois types suivants : identité, conditionnel ou incohérent. Une équation d’identité est vraie pour toutes les valeurs de la variable. Voici un exemple d’une équation d’identité.

3x=2x+x

L’ensemble des solutions est constitué de toutes les valeurs qui rendent l’équation vraie. Pour cette équation, l’ensemble des solutions est constitué de tous les nombres réels car tout nombre réel substitué à x rendra l’équation vraie.

Une équation conditionnelle est vraie pour seulement certaines valeurs de la variable. Par exemple, si nous devons résoudre l’équation 5x+2=3x – 6, nous avons ce qui suit:

\begin{array}{l}5x+2\hfill&=3x – 6\hfill \ 2x\hfill&=-8\hfill \\hfill x\hfill&=-4\hfill \end{array}

L’ensemble des solutions est constitué d’un seul nombre : \{-4\}. C’est la seule solution et, par conséquent, nous avons résolu une équation conditionnelle.

Une équation incohérente entraîne une fausse déclaration. Par exemple, si nous devons résoudre 5x – 15=5\gauche(x – 4\droite), nous avons ce qui suit:

\begin{array}{ll}5x – 15=5x – 20\hfill & \hfill \\\\ 5x – 15 – 5x=5x – 20 – 5x\hfill & \text{Soustraire }5x\text{ des deux côtés}.\hfill \\\N- -15\N- 20 \N- 3867> \text{Faux énoncé}\N\N\N\N\N -end{array}

En effet, -15\N- 20. Il n’y a pas de solution parce que c’est une équation incohérente.

La résolution d’équations linéaires à une variable fait appel aux propriétés fondamentales de l’égalité et aux opérations algébriques de base. Un bref examen de ces opérations suit.

Comment faire : étant donné une équation linéaire à une variable, utiliser l’algèbre pour la résoudre.

Les étapes suivantes sont utilisées pour manipuler une équation et isoler la variable inconnue, de sorte que la dernière ligne indique x=_________, si x est l’inconnue. Il n’y a pas d’ordre établi, car les étapes utilisées dépendent de ce qui est donné :

  1. Nous pouvons ajouter, soustraire, multiplier ou diviser une équation par un nombre ou une expression, tant que nous faisons la même chose des deux côtés du signe égal. Notez que nous ne pouvons pas diviser par zéro.
  2. Appliquer la propriété distributive au besoin : a\left(b+c\right)=ab+ac.
  3. Isoler la variable sur un côté de l’équation.
  4. Lorsque la variable est multipliée par un coefficient dans l’étape finale, multiplier les deux côtés de l’équation par la réciproque du coefficient.

Exemple 1 : Résolution d’une équation à une variable

Résoudre l’équation suivante : 2x+7=19.

Solution

Cette équation peut être écrite sous la forme ax+b=0 en soustrayant 19 des deux côtés. Cependant, nous pouvons procéder à la résolution de l’équation sous sa forme initiale en effectuant des opérations algébriques.

\begin{array}{ll}2x+7=19\hfill & \hfill \\\\N 2x=12\hfill & \text{Soustraire 7 des deux côtés}.\hfill \N x=6\hfill & \text{Multiplier les deux côtés par }\frac{1}{2}\text ou diviser par 2}.

La solution est x=6.

Essayez-le 1

Solvez l’équation linéaire à une variable : 2x+1=-9.

Solution

Exemple 2 : Résoudre une équation algébriquement lorsque la variable apparaît des deux côtés

Solvez l’équation suivante : 4\left(x – 3\right)+12=15 – 5\left(x+6\right).

Solution

Appliquez les propriétés algébriques standard.

\begin{array}{ll}4\left(x – 3\right)+12=15 – 5\left(x+6\right)\hfill & \hfill \\\N 4x – 12+12=15 – 5x – 30 \hfill & \text{\i1}Appliquez la propriété distributive}.\4x=-15 – 5x\hfill & \text{Combinez les termes semblables}.\hfill \\\\N 9x=-15 \hfill & \text{Placez }x-\text{terms} d’un côté et simplifiez}.\hfill \\\N- x=-\frac{15}{9}\hfill & \text{Multiplier les deux côtés par }\frac{1}{9}\text{, l’inverse de 9}.\hfill \\\N x=-\frac{5}{3}\hfill & \hfill \end{array}

Analyse de la solution

Ce problème nécessite d’appliquer deux fois la propriété distributive, puis d’utiliser les propriétés de l’algèbre pour atteindre la droite finale, x=-\frac{5}{3}.

Essayez-le 2

Résolvez l’équation à une variable : -2\left(3x – 1\right)+x=14-x.

Solution

.

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.